Пусть h(x) есть наибольшее значение функции f(t) = t - t² при t S x. Решите уравнение 2x² - 3x + 3 = 8h(x).

Чтобы решить задачу, сначала найдем наибольшее значение функции \( f(t) = t - t^2 \).

1. Найдем производную функции \( f(t) \):
   \( f'(t) = 1 - 2t \).

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 1 - 2t = 0 \)
   \( 2t = 1 \)
   \( t = \frac{1}{2} \).

3. Теперь определим, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого проверим вторую производную:
   \( f''(t) = -2 \).
   Так как вторая производная отрицательна, это означает, что функция \( f(t) \) достигает максимума в точке \( t = \frac{1}{2} \).

4. Теперь подставим \( t = \frac{1}{2} \) в функцию \( f(t) \) для нахождения максимального значения \( h(x) \):
   \( h(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \).

Теперь у нас есть наибольшее значение:
\( h(x) = \frac{1}{4} \).

5. Подставим \( h(x) \) в уравнение \( 2x^2 - 3x + 3 = 8h(x) \):
   \( 2x^2 - 3x + 3 = 8 \cdot \frac{1}{4} \)
   \( 2x^2 - 3x + 3 = 2 \).

6. Перепишем уравнение:
   \( 2x^2 - 3x + 3 - 2 = 0 \)
   \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \).

7. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

8. Находим корни уравнения:
   \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4} \).

   • Первый корень: \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \).
   • Второй корень: \( x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Таким образом, уравнение \( 2x^2 - 3x + 3 = 8h(x) \) имеет два решения:
\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = \frac{1}{2} \).