На занятиях по ментальной арифметике учитель попросил Олега складывать в уме последовательно натуральные числа начиная с одного. некоторые моменты времени учитель остановил Олега и попросил назвать результат. Олег назвал число 486, но результат оказался неверным, так как Олег дважды сложил одно и то же число. Определите, какое число Олег сложил дважды
Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. Олег складывает последовательные натуральные числа, начиная с 1. Если он складывает числа от 1 до \( n \), сумма этих чисел рассчитывается по формуле:
\[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \]
Предположим, что Олег ошибся и повторно сложил какое-то число \( k \). Тогда вместо правильной суммы \( S \) он назвал \( 486 \) следующим образом:
\[ S + k = 486 \]
Из этого мы можем выразить \( S \):
\[ S = 486 - k \]
Теперь подставим значение \( S \) из формулы:
\[ \frac{n(n + 1)}{2} = 486 - k \]
Умножив обе стороны на 2, получаем:
\[ n(n + 1) = 972 - 2k \]
Теперь мы должны подобрать такие \( n \) и \( k \), чтобы уравнение выполнялось. Давайте рассмотрим все натуральные числа \( n \), для которых \( n(n + 1) \) меньше или равно 972:
- \( n = 31 \): \( 31 \times 32 = 992 \) (больше 972)
- \( n = 30 \): \( 30 \times 31 = 930 \) (приемлемо)
Подставим \( n = 30 \):
\[ 30 \times 31 = 972 - 2k \] \[ 930 = 972 - 2k \] \[ 2k = 972 - 930 = 42 \] \[ k = 21 \]
Таким образом, Олег дважды сложил число 21.
