104. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Най- дите площади описанного около него и вписанного в не- го кругов.
Чтобы найти площади описанного и вписанного кругов вокруг треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, сначала нам нужно найти площадь самого треугольника. Мы можем использовать формулу Герона, которая гласит, что площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
где \( a \), \( b \), и \( c \) — это стороны треугольника, а \( p \) — полупериметр треугольника.
Найдем полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ см} \]
Вычислим площадь треугольника: \[ S = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} \] \[ = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ = \sqrt{21 \times 336} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2 \]
Теперь, зная площадь треугольника, найдем радиусы описанного и вписанного кругов.
Радиус описанного круга (\( R \)): Формула для радиуса описанного круга: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Подставим значения: \[ R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} \] \[ = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8.125 \text{ см} \]
Радиус вписанного круга (\( r \)): Формула для радиуса вписанного круга: \[ r = \frac{S}{p} \] Подставим значения: \[ r = \frac{84}{21} = 4 \text{ см} \]
Теперь мы можем подвести итог:
Площадь описанного круга: \[ S_{описанного} = \pi R^2 = \pi \times (8.125)^2 = \pi \times 66.015625 \approx 207.53 \text{ см}^2 \]
Площадь вписанного круга: \[ S_{вписанного} = \pi r^2 = \pi \times (4)^2 = \pi \times 16 \approx 50.27 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площади окружностей составляют примерно:
- Площадь описанного круга: \( \approx 207.53 \text{ см}^2 \)
- Площадь вписанного круга: \( \approx 50.27 \text{ см}^2 \)
