4sin в квадрате -cos x-1=0

Давайте решим уравнение \( 4\sin^2 x - \cos x - 1 = 0 \).

1. Начнём с того, что мы знаем связь между синусом и косинусом через основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. \] Подставим это в уравнение: \[ 4(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0. \] Упростим уравнение: \[ 4 - 4\cos^2 x - \cos x - 1 = 0, \] \[ -4\cos^2 x - \cos x + 3 = 0. \] Умножим всё на -1 для удобства: \[ 4\cos^2 x + \cos x - 3 = 0. \]

2. Теперь у нас есть квадратное уравнение: \[ 4y^2 + y - 3 = 0, \] где \( y = \cos x \).

3. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 4 \), \( b = 1 \), \( c = -3 \).

4. Подставляем значения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4}, \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}, \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{8}, \] \[ y = \frac{-1 \pm 7}{8}. \]

5. Найдем два возможных значения: \[ y_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \] \[ y_2 = \frac{-8}{8} = -1. \]

6. Теперь вернемся к \( \cos x \):

   • Для \( \cos x = \frac{3}{4} \): найдём значения \( x \).
   • Для \( \cos x = -1 \): \( x = \pi + 2k\pi \) (где \( k \) – целое число).

7. Для \( \cos x = \frac{3}{4} \), мы можем найти \( x \) как: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi. \]

Таким образом, у нас есть все возможные решения для данного уравнения. Если вам нужна дополнительная помощь или объяснение, дайте знать!