3. Из вершины А квадрата ABCD со стороной 10 см восстановлен перпендикуляр АЕ длиной 16 см. докажите, что треугольник ВСЕ-прямоугольный. Найдите его площадь.
Чтобы доказать, что треугольник \( ВСЕ \) является прямоугольным, воспользуемся координатами.
Зададим координаты вершин квадрата \( ABCD \):
- \( A(0, 10) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(10, 0) \)
- \( D(10, 10) \)
Теперь определим координаты точки \( E \), которая является вершиной, находящейся на перпендикуляре к стороне \( AB \) от точки \( A \) на длину 16 см вниз:
- Координаты точки \( E \) будут \( (0, 10 - 16) = (0, -6) \).
Теперь у нас есть три точки, которые мы будем использовать для проверки, является ли треугольник \( ВСЕ \) прямоугольным:
- \( B(0, 0) \)
- \( C(10, 0) \)
- \( E(0, -6) \)
Теперь найдем длины сторон треугольника \( BEC \):
- Длина \( BE \): \[ BE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - (-6))^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6 \]
- Длина \( CE \): \[ CE = \sqrt{(10 - 0)^2 + (0 - (-6))^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \]
- Длина \( BC \): \[ BC = \sqrt{(10 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{10^2} = 10 \]
Теперь проверим, является ли треугольник \( BEC \) прямоугольным. Для этого проверим, удовлетворяет ли он теореме Пифагора: \[ BE^2 + EC^2 = BC^2 \] Подставим найденные значения: \[ 6^2 + (2\sqrt{34})^2 = 10^2 \\ 36 + 4 \cdot 34 = 100 \\ 36 + 136 = 100 \text{ (неверно, это ошибка на предыдущем шаге)} \]
Перепроверяем длину \( CE \): \[ CE = 2 \sqrt{34} \] \[ (2 \sqrt{34})^2 = 4 \cdot 34 = 136 \\ 36 + 136 = 172 \ (это не 100, что верно) \]
Мы нашли, что \( BE^2 + EC^2 \neq BC^2 \). Значит, перепроверяя, которая сторона также является прямой, можно использовать вектора.
Проверка прямой угол: \[ BC = (C-B) = (10,0) - (0,0) = (10,0) \\ BE = (E-B) = (0,-6) - (0,0) = (0,-6) \]
Скалярное произведение: \[ (10,0) \cdot (0,-6) = 10 \cdot 0 + 0 \cdot -6 = 0 \]
Мы видим, что угол прямой и треугольник BEC прямоугольный.
Теперь найдем площадь треугольника \( BEC \) по формуле: \[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) - катеты, то есть:
- один из них это \( BE \) = 6
- другой из них это \( BC \) = 10
- Найдем: \[ P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \] Таким образом, площадь треугольника \( BEC \) равна \( 30 \) см².
