cos(6x+П/6)=√2/2

Чтобы решить уравнение \( \cos(6x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), начнём с того, что значение \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) для косинуса соответствует углам, у которых косинус равен этому значению:

1. Значения углов, для которых \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Подставим \( \theta = 6x + \frac{\pi}{6} \) в эти уравнения: \[ 6x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 6x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

3. Решим первое уравнение: \[ 6x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]

   Чтобы вычесть \( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \), найдём общий знаменатель, который равен 12: \[ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} \] \[ \Rightarrow \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \] Таким образом: \[ 6x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \]

4. Теперь решим второе уравнение: \[ 6x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] Аналогично, найдём общий знаменатель: \[ -\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{12} \] \[ \Rightarrow -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} \] Таким образом: \[ 6x = -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi \] \[ x = -\frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \]

Итак, общее решение уравнения \( \cos(6x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) будет: \[ x = \frac{\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}. \]