Cos^2x+3sinx=3

Давайте решим уравнение \( \cos^2 x + 3 \sin x = 3 \).

Во-первых, вспомним, что \( \cos^2 x \) можно выразить через \( \sin x \) с помощью основного тригонометрического тождества:

\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]

Таким образом, мы можем заменить \( \cos^2 x \) в нашем уравнении:

\[ 1 - \sin^2 x + 3 \sin x = 3 \]

Теперь упростим это уравнение:

\[ - \sin^2 x + 3 \sin x + 1 - 3 = 0 \]

Это приводит нас к:

\[ - \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \]

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\[ \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Мы можем решить его, используя формулу для решения квадратных уравнений \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим наши значения, где \( a = 1, b = -3, c = 2 \):

\[ \sin x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \] \[ = \frac{3 \pm 1}{2} \]

Теперь рассчитаем два случая:

1. \( \sin x = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
2. \( \sin x = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)

Однако значение \( \sin x = 2 \) невозможно, так как синус всегда находится в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, единственное допустимое значение:

\[ \sin x = 1 \]

Теперь нам нужно найти значения \( x \), при которых \( \sin x = 1 \). Это происходит при:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, общее решение для уравнения \( \cos^2 x + 3 \sin x = 3 \) выглядит так:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений по другой теме, не стесняйтесь спрашивать!