Решение показательных уравнений методом замены переменной
Привет! Давай разберемся с решением показательных уравнений методом замены переменной.
На доске три уравнения:
- \(2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 = 0\)
Для решения можно использовать замену: \(y = 5^x\). Тогда уравнение перепишется как:
\(2y^2 - y - 1 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\)
Корни: \(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4}\)
\(y_1 = 1\); \(y_2 = -\frac{1}{2}\)
Поскольку \(y = 5^x\), отрицательное значение недопустимо.
\(5^x = 1\) => \(x = 0\)
- \(3 \cdot 2^{3x} - 2^{x} - 3 = 0\)
Сделаем замену: \(z = 2^x\). Тогда уравнение станет:
\(3z^3 - z - 3 = 0\)
Это более сложное уравнение для решения вручную. Попробуй проверку небольших значений для \(z\) или численные методы.
- \(5 \cdot ( \frac{1}{5} )^{2x} + ( \frac{1}{5} )^x - 1 = 0\)
Заменим: \(w = ( \frac{1}{5} )^x\). Получаем:
\(5w^2 + w - 1 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21\)
Корни: \(w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{10}\)
Рассматривай только положительные корни, поскольку \(w = \left( \frac{1}{5} \right)^x\), и это всегда положительное число.
Надеюсь, это поможет! Если есть ещё вопросы, пиши.
