150. Хорды АВ и СО окружности пересекаются в точке К, СК = 6 см, DK = 8 см, а отрезок АК в 3 раза больше от- резка ВК. Найдите отрезки АК и ВК. 151. Точка Е удалена на 6 см от…

Для решения задач 150 и 151 будем использовать свойства отрезков хорд окружности и теоремы о пересечениях хорды.

Задача 150

1. Обозначим отрезки АК и ВК как \(x\) и \(y\) соответственно. Из условия задачи известно, что \(x = 3y\).
2. На основании теоремы о пересечении хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \[ CK \cdot DK = AK \cdot BK \] Подставим известные значения: \[ 6 \cdot 8 = x \cdot y \] То есть: \[ 48 = x \cdot y \]
3. Теперь подставим \(x\) из первого уравнения во второе: \[ 48 = (3y) \cdot y = 3y^2 \] Разделим обе стороны на 3: \[ 16 = y^2 \] То есть: \[ y = 4 \, \text{см} \]
4. Теперь найдем \(x\): \[ x = 3y = 3 \cdot 4 = 12 \, \text{см} \]

Таким образом, отрезки:

• \(AK = 12 \, \text{см}\)
• \(BK = 4 \, \text{см}\)

Задача 151

1. Обозначим отрезки, на которые точка \(E\) делит хорду \(AB\), как \(AE = a\) и \(EB = b\). Тогда длина хорды: \[ a + b = 16 \]

2. Для нахождения этих отрезков мы используем формулу для расстояния от центра окружности до хорды: \[ d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \] где \(d\) — расстояние от центра до хорды, \(r\) — радиус окружности, \(l\) — длина хорды. \[ d = 6 \, \text{см}, \quad r = 10 \, \text{см}, \quad l = 16 \, \text{см} \] Подставим известные значения: \[ 6 = \sqrt{10^2 - \left(\frac{16}{2}\right)^2} \] Проверим это уравнение: \[ 6 = \sqrt{100 - 64} \] \[ 6 = \sqrt{36} \] \[ 6 = 6 \] Это верно, значит расстояние от центра до хорды правильное.

3. Теперь находим отрезки \(AE\) и \(EB\): Из симметрии хорды и равенства отрезков от центра до хорды, получаем: \[ a = b \] Таким образом: \[ a + a = 16 \implies 2a = 16 \implies a = 8 \, \text{см} \]

Отрезки:

• \(AE = 8 \, \text{см}\)
• \(EB = 8 \, \text{см}\)

Ответы:

150. \(AK = 12 \, \text{см}, BK = 4 \, \text{см}\)

151. \(AE = 8 \, \text{см}, EB = 8 \, \text{см}\)