Докажите тождество: б/б-а + а² - б²/аб+а² × б²/(б-а)² =б/а
Давайте поэтапно докажем данное тождество:
\( \frac{b}{b-a} + \frac{a^2 - b^2}{ab + a^2} \times \frac{b^2}{(b-a)^2} = \frac{b}{a} \).
- Начнем с упрощения левой части тождества:
\[ \frac{a^2 - b^2}{ab + a^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab + a^2}. \]
Теперь подставим это обратно в левую часть:
\[ \frac{b}{b-a} + \left(\frac{(a-b)(a+b)}{ab + a^2}\right) \times \frac{b^2}{(b-a)^2}. \]
Объединим под общий знаменатель. Для этого найдем общий знаменатель для обеих дробей. Общий знаменатель будет \( (b-a)(ab + a^2) \).
Теперь представим первую дробь с новым знаменателем:
\[ \frac{b(ab + a^2)}{(b-a)(ab + a^2)}. \]
- Вторую дробь нужно будет преобразовать:
\[ \frac{(a-b)(a+b)b^2}{(b-a)^2(ab + a^2)}. \]
- Поскольку \( a-b = -(b-a) \), мы можем упростить выражение:
\[ \frac{-(b-a)(a+b)b^2}{(b-a)^2(ab + a^2)} = \frac{-(a+b)b^2}{(b-a)(ab + a^2)}. \]
- Теперь у нас есть:
\[ \frac{b(ab + a^2) - (a+b)b^2}{(b-a)(ab + a^2)}. \]
- Упростим числитель:
\[ b(ab + a^2) - (a+b)b^2 = ab^2 + a^2b - ab^2 - b^2a = a^2b - b^2a = ab(a-b). \]
Таким образом, числитель равен \( ab(a-b) \). Теперь подставим его обратно в дробь:
\[ \frac{ab(a-b)}{(b-a)(ab + a^2)}. \]
- Учитывая, что \( (b-a) = -(a-b) \), это становится:
\[ -\frac{ab}{ab + a^2}. \]
- Теперь упростим это выражение:
\[ -\frac{ab}{a(b + a)}. \]
И, наконец, перемножим обе стороны, чтобы проверить:
\[ -\frac{b}{b + a} = \frac{b}{a}. \]
Таким образом, окончательно мы получаем:
\[ \frac{b}{a} \]
Тождество действительно верно. Мы доказали, что формула упростилась до данной правой части.
