Для прямоугольного параллелепипеда ABCDA,B,C,D₁, у которого AB = 4, AD = 4, АА₁ = 3, найдите косинус угла между прямыми АВ, И ВС1. .
Чтобы найти косинус угла между прямыми AB и BC₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA,B,C,D₁, сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда, исходя из заданных размеров:
- A(0, 0, 0)
- B(4, 0, 0)
- C(4, 4, 0)
- D(0, 4, 0)
- A₁(0, 0, 3)
- B₁(4, 0, 3)
- C₁(4, 4, 3)
- D₁(0, 4, 3)
Теперь найдем векторы, которые описывают прямые AB и BC₁:
Вектор AB: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0) \]
Вектор BC₁: \[ \overrightarrow{BC₁} = C₁ - B = (4 - 4, 4 - 0, 3 - 0) = (0, 4, 3) \]
Теперь нужно использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами. Косинус угла \(\theta\) между векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) определяется как:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} \]
где \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) — скалярное произведение векторов, а \(||\vec{u}||\) и \(||\vec{v}||\) — их длины.
Находим скалярное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC₁}\):
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC₁} = (4, 0, 0) \cdot (0, 4, 3) = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 3 = 0 \]
Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\[ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \]
Длина вектора \(\overrightarrow{BC₁}\):
\[ ||\overrightarrow{BC₁}|| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь подставим все известные значения в формулу для \(\cos(\theta)\):
\[ \cos(\theta) = \frac{0}{4 \cdot 5} = 0 \]
Таким образом, косинус угла между прямыми AB и BC₁ равен \(0\), что указывает на то, что эти прямые перпендикулярны друг другу.
