В группе 11 человек и 9 женщин. Для психологического теста случайным образом выбирают 3 человек из этой группы. Найдите вероятность того,что: а) В число выбранных войдëт хотя бы…

Для решения данной задачи воспользуемся формулой вероятности и методом комплементарного события.

В группе 11 человек, из которых 9 женщин и 2 мужчины.

а) Найдем вероятность того, что в число выбранных войдëт хотя бы одна женщина. Для этого сначала вычислим вероятность того, что не будет выбран ни одной женщины, а затем вычтем эту вероятность из 1.

1. Общее количество способов выбрать 3 человека из 11: \[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 \]

2. Общее количество способов выбрать 3 человека, не включая женщин (т.е. только мужчин): \[ C(2, 3) = 0 \] Поскольку в группе только 2 мужчины, выбрать 3 человека из 2 невозможно.

Следовательно, вероятность выбрать только мужчин равна 0, а это означает, что вероятность выбрать хотя бы одну женщину равна 1. То есть, \[ P(\text{хотя бы одна женщина}) = 1 - P(\text{только мужчины}) = 1 - 0 = 1. \]

б) Теперь найдем вероятность, что в число выбранных войдëт хотя бы один мужчина. Для этого также воспользуемся комплементарным событием — найдем вероятность того, что не будет мужчин, т.е. будут выбраны только женщины.

1. Общее количество способов выбрать 3 человека только из женщин: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84. \]

2. Вероятность выбора только женщин: \[ P(\text{только женщины}) = \frac{C(9, 3)}{C(11, 3)} = \frac{84}{165} = \frac{28}{55}. \]

Таким образом, вероятность того, что в выбор попадëт хотя бы один мужчина: \[ P(\text{хотя бы один мужчина}) = 1 - P(\text{только женщины}) = 1 - \frac{28}{55} = \frac{55 - 28}{55} = \frac{27}{55}. \]

Итак, ответы на вопросы: а) Вероятность того, что в число выбранных войдëт хотя бы одна женщина: 1.
б) Вероятность того, что в число выбранных войдëт хотя бы один мужчина: \(\frac{27}{55}\).