Скоростной поезд комета отправляется из города н в город м по пути поезд делает несколько остановок из города н выехало 2024 пассажира на первой остановке в поезд сели 5 пассажиров а на каждой следующей остановке на 3 пассажира больше больше чем на предыдущей кроме того на каждой остановке выходят 30 пассажиров сколько остановок сделал поезд во время пути если в город м прибыло 2167 пассажира
Для решения задачи давайте разберем все этапы шаг за шагом.
Начальное количество пассажиров: Из города Н выехало 2024 пассажиров.
Остановка 1: На первой остановке в поезд сели 5 пассажиров, а 30 пассажиров вышли.
- Пассажиров после первой остановки: \[ 2024 - 30 + 5 = 1999 \]
Остановка 2: На следующей остановке в поезд сели 8 пассажиров (на 3 больше, чем на первой), и снова вышли 30.
- Пассажиров после второй остановки: \[ 1999 - 30 + 8 = 1977 \]
Остановка 3: На третьей остановке в поезд сели 11 пассажиров (на 3 больше, чем на второй), и снова 30 вышли.
- Пассажиров после третьей остановки: \[ 1977 - 30 + 11 = 1958 \]
Остановка 4: На четвертой остановке в поезд сели 14 пассажиров (на 3 больше, чем на третьей), и снова 30 вышли.
- Пассажиров после четвертой остановки: \[ 1958 - 30 + 14 = 1942 \]
Теперь заметим, что с каждой остановкой количество входящих пассажиров увеличивается на 3. Начнем общее выражение для пассажиров после n-й остановки.
Обобщение:
- На n-й остановке количество новых пассажиров будет \(5 + 3(n - 1)\), так как на первой остановке 5, на второй 8 и так далее. Теперь мы можем записать общее количество пассажиров после n остановок: \[ P_n = 2024 - 30n + \sum_{k=0}^{n-1} (5 + 3k) \]
Сумма по n - 1 \(5 + 3k\): \[ \sum_{k=0}^{n-1} (5 + 3k) = 5n + 3\frac{(n-1)n}{2} = 5n + \frac{3n^2 - 3n}{2} = \frac{10n + 3n^2 - 3n}{2} = \frac{3n^2 + 7n}{2} \]
Тогда: \[ P_n = 2024 - 30n + \frac{3n^2 + 7n}{2} \]
Нам нужно выяснить, когда это количество равно 2167: \[ \frac{3n^2 + 7n}{2} + 2024 - 30n = 2167 \]
Умножим на 2: \[ 3n^2 + 7n + 4048 - 60n = 4334 \] \[ 3n^2 - 53n - 286 = 0 \]
Решим квадратное уравнение для n: Используя дискриминант, \[ D = (-53)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-286) = 2809 + 3432 = 6241 \]
Корни: \[ n = \frac{53 \pm \sqrt{6241}}{2 \cdot 3} = \frac{53 \pm 79}{6} \]
Находим n:
- \(n_1 = \frac{132}{6} = 22\)
- \(n_2 = \frac{-26}{6}\) (отрицательное, не рассматриваем)
Таким образом, поезд сделал 22 остановки.
