Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции. Решать без косинусов и синусов
Для решения задачи найдем основания прямоугольной трапеции, используя заданные данные.
Обозначим основания трапеции как \(a\) и \(b\), где \(a\) – большее основание, а \(b\) – меньшее. Также обозначим большую боковую сторону как \(c = 20\) см и среднюю линию как \(m = 7\) см.
Средняя линия трапеции (м) вычисляется по формуле: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Подставим значение средней линии: \[ 7 = \frac{a + b}{2} \] Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ a + b = 14 \quad (1) \]
У прямоугольной трапеции один из углов равен 120°. Это означает, что один из углов при основаниях равен 60° (поскольку 180° - 120° = 60°).
Используя свойства прямоугольной трапеции, можем сказать, что по высоте, проведенной из верхнего основания (что не совпадает с прямым углом), можно провести две половинные вертикали, создавая два прямоугольных треугольника с углом 60°.
Обозначим высоту трапеции как \(h\). В треугольниках, образованных высотой \(h\) и боковыми сторонами, можем воспользоваться отношением для угла 60°. Длина отрезка, противолежащего углу 60°, равна \(h\) и соседний отрезок (часть основания) можно выразить через \(c\) и \(h\).
По свойствам прямоугольного треугольника с углом 60°: \[ h = c \cdot \sin(60°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \]
Чем мы можем воспользоваться для основания: \[ a - b = c \cdot \cos(60°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система уравнений: \[ a + b = 14 \quad (1) \] \[ a - b = 10 \quad (2) \]
Сложим два уравнения (1) и (2): \[ (a + b) + (a - b) = 14 + 10 \] \[ 2a = 24 \implies a = 12 \]
Подставим значение \(a\) в (1): \[ 12 + b = 14 \implies b = 2 \]
Таким образом, основания трапеции равны \(a = 12\) см и \(b = 2\) см.
