10 cos²x + 3 cos x = 1

Решим уравнение \(10 \cos^2 x + 3 \cos x = 1\).

1. Начнем с упрощения уравнения. Мы можем перенести 1 на левую сторону:

   \[ 10 \cos^2 x + 3 \cos x - 1 = 0 \]

2. Теперь это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Обозначим \(\cos x = y\), тогда уравнение становится:

   \[ 10y^2 + 3y - 1 = 0 \]

3. Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac \]

   Здесь \(a = 10\), \(b = 3\), \(c = -1\). Подставим значения:

   \[ D = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 \]

4. Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

   \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

   Подставляем значения:

   \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 \pm 7}{20} \]

   Это дает нам два возможных значения для \(y\):

   \[ y_1 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \] \[ y_2 = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2} \]

5. Теперь вернемся к \(\cos x\). Мы получили два значения:

   1. \(\cos x = \frac{1}{5}\)
   2. \(\cos x = -\frac{1}{2}\)

6. Теперь найдем соответствующие углы \(x\).

   • Для \(\cos x = \frac{1}{5}\): Угол можно найти, используя арккосинус: \[ x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) \] Это значение может располагаться в первой и четвертой четверти.

   • Для \(\cos x = -\frac{1}{2}\): Угол \(x\) равен: \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, у нас есть все решения исходного уравнения по \(x\). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!