2sin(3x-Pi/4)=-корень из 2

Для решения уравнения \( 2\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \), начнем с упрощения уравнения.

1. Разделим обе стороны на 2: \[ \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Теперь найдем, при каких значениях аргумент синуса равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Это происходит, когда: \[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \] где \( k \) — целое число.

3. Теперь решим каждое из этих уравнений.

Первое уравнение: \[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \] Добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим сторонам: \[ 3x = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 3x = 2\pi + 2k\pi \] Теперь разделим на 3: \[ x = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \]

Второе уравнение: \[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \] Добавим \(\frac{\pi}{4}\): \[ 3x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 3x = \frac{6\pi}{4} + 2k\pi \] \[ 3x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] Теперь разделим на 3: \[ x = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} \]

Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!