Вычислить определители, предварительно упростив с помощью их свойств |22 24+2 26 | | 33 40+5 45 | | 88 98-2 99 |
Для вычисления определителя матрицы, сначала упростим элементы, используя свойства определителей. Запишем матрицу:
\[ \begin{vmatrix} 22 & 24 + 2 & 26 \\ 33 & 40 + 5 & 45 \\ 88 & 98 - 2 & 99 \end{vmatrix} \]
Упростим элементы во второй и третьей колонках:
\[ \begin{vmatrix} 22 & 26 & 26 \\ 33 & 45 & 45 \\ 88 & 96 & 99 \end{vmatrix} \]
Теперь мы можем использовать свойства определителей. Например, если строки или столбцы одинаковы, определитель равен нулю. В данном случае, видно, что второй и третий элементы в первой строке не равны, но мы можем попробовать упрощать ещё больше.
Выделим первый столбец, чтобы начать находить определитель:
\[ D = a_{11} (a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}) - a_{12} (a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}) + a_{13} (a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}) \]
Теперь подставим значения из матрицы:
\[ D = 22 \begin{vmatrix} 45 & 45 \\ 96 & 99 \end{vmatrix} - 26 \begin{vmatrix} 33 & 45 \\ 88 & 99 \end{vmatrix} + 26 \begin{vmatrix} 33 & 45 \\ 88 & 96 \end{vmatrix} \]
Теперь посчитаем каждый из определителей 2x2.
- Для первого:
\[ \begin{vmatrix} 45 & 45 \\ 96 & 99 \end{vmatrix} = 45 \cdot 99 - 45 \cdot 96 = 4455 - 4320 = 135 \]
- Для второго:
\[ \begin{vmatrix} 33 & 45 \\ 88 & 99 \end{vmatrix} = 33 \cdot 99 - 45 \cdot 88 = 3267 - 3960 = -693 \]
- Для третьего:
\[ \begin{vmatrix} 33 & 45 \\ 88 & 96 \end{vmatrix} = 33 \cdot 96 - 45 \cdot 88 = 3168 - 3960 = -792 \]
Теперь подставляем обратно значения в формулу для вычисления \(D\):
\[ D = 22 \cdot 135 - 26 \cdot (-693) + 26 \cdot (-792) \]
Вычислим каждое произведение:
- \(22 \cdot 135 = 2970\)
- \(-26 \cdot (-693) = 18018\)
- \(26 \cdot (-792) = -20592\)
Теперь суммируем результаты:
\[ D = 2970 + 18018 - 20592 = -4504 \]
Таким образом, определитель данной матрицы равен \(-4504\).
