Двум малярам Диме и Олегу поручили выкрасить фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил…
Двум малярам Диме и Олегу поручили выкрасить фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил фасад вручную. Известно, что Дима красит краскопультом в три раза быстрее, чем Олег вручную. Через некоторое время они одновременно поменяли способ покраски: Дима стал красить вручную, а Олег краскопультом. При этом производительность каждого изменилась в два раза: у Олега увеличилась в два раза, а у Димы уменьшилась. Покраску своей части фасада они закончили одновременно. Сколько квадратных метров покрасил краскопультом Дима, если весь фасад дома составляет 300 м²?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим скорость работы Олега ручной покраски как \( v \) м²/ч. Тогда скорость Димы с краскопультом будет \( 3v \) м²/ч, так как он работает в три раза быстрее.
Фасад дома составляет 300 м², и они разделили его на две равные части, то есть каждая часть составляет 150 м².
Пусть время, в течение которого они работали в первом режиме (Дима с краскопультом, Олег вручную), составляет \( t_1 \) часов. За это время Дима покрасит \( 3v \cdot t_1 \) м², а Олег - \( v \cdot t_1 \) м². Сумма их работы за это время должна быть равна 150 м²:
\[ 3v \cdot t_1 + v \cdot t_1 = 150 \]
Это можно упростить:
\[ (3v + v) \cdot t_1 = 150 \]
\[ 4v \cdot t_1 = 150 \]
\[ t_1 = \frac{150}{4v} = \frac{75}{2v} \text{ часов} \]
Теперь они поменялись ролями. Дима стал красить вручную, а Олег – краскопультом. Теперь скорость Димы стала \( \frac{v}{2} \) м²/ч (уменьшилась в два раза), а скорость Олега увеличилась до \( 6v \) м²/ч. Пусть время работы в этом режиме составит \( t_2 \) часов. Тогда:
\[ \frac{v}{2} \cdot t_2 + 6v \cdot t_2 = 150 \]
Упрощаем:
\[ \left( \frac{v}{2} + 6v \right) \cdot t_2 = 150 \]
\[ \left( \frac{1}{2}v + 6v \right) \cdot t_2 = 150 \]
\[ \frac{13}{2}v \cdot t_2 = 150 \]
\[ t_2 = \frac{150 \cdot 2}{13v} = \frac{300}{13v} \text{ часов} \]
Поскольку оба времени \( t_1 \) и \( t_2 \) равны, можем записать уравнение:
\[ \frac{75}{2v} = \frac{300}{13v} \]
Убираем \( v \) (оно не равно нулю):
\[ \frac{75}{2} = \frac{300}{13} \]
Умножаем обе стороны на \( 26 \):
\[ 75 \cdot 13 = 300 \cdot 2 \]
\[ 975 = 600 \]
Это подтверждает, что они действительно закончили покраску одновременно.
Теперь найдём, сколько квадратных метров покрасил Дима краскопультом. Он работал \( t_1 = \frac{75}{2v} \) часов, тогда:
\[ \text{Площадь, покрашенная Димой краскопультом} = 3v \cdot \frac{75}{2v} = \frac{3 \cdot 75}{2} = 112.5 \text{ м²} \]
Таким образом, Дима покрасил краскопультом 112.5 м² фасада дома.
