. Во сколько раз период колебаний математического маят- ника на некоторой планете больше, чем на Земле, если радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли, а плотности одинаковы?
Чтобы определить, во сколько раз период колебаний математического маятника на другой планете больше, чем на Земле, мы можем использовать формулу для периода колебаний маятника:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
где:
- \( T \) — период колебаний,
- \( L \) — длина маятника,
- \( g \) — ускорение свободного падения.
Ускорение свободного падения на планете может быть вычислено по формуле:
\[ g = \frac{GM}{R^2} \]
где:
- \( G \) — универсальная гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса планеты,
- \( R \) — радиус планеты.
Мы знаем, что масса планеты связана с её плотностью (\( \rho \)) и объёмом (\( V \)) следующим образом:
\[ M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Так как плотности обеих планет одинаковы и радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли (\( R_{\text{планеты}} = \frac{R_{\text{Земли}}}{2} \)), можем подставить это в уравнение для массы:
\[ M_{\text{планеты}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R_{\text{Земли}}}{2}\right)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{R_{\text{Земли}}^3}{8} = \frac{1}{6} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R_{\text{Земли}}^3 = \frac{1}{6} M_{\text{Земли}} \]
Теперь подставим данное значение массы в формулу для ускорения свободного падения:
\[ g_{\text{планеты}} = \frac{G \cdot M_{\text{планеты}}}{R_{\text{планеты}}^2} = \frac{G \cdot \left(\frac{1}{6} M_{\text{Земли}}\right)}{\left(\frac{R_{\text{Земли}}}{2}\right)^2} \]
Вычисляем:
\[ g_{\text{планеты}} = \frac{G \cdot \frac{1}{6} M_{\text{Земли}}}{\frac{R_{\text{Земли}}^2}{4}} = \frac{4G \cdot \frac{1}{6} M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}^2} = \frac{2}{3} g_{\text{Земли}} \]
Теперь, зная ускорения свободного падения для обеих планет, можем найти отношение их периодов:
Для Земли:
\[ T_{\text{Земли}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{Земли}}}} \]
Для планеты:
\[ T_{\text{планеты}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{планеты}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\frac{2}{3}g_{\text{Земли}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{2g_{\text{Земли}}}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{Земли}}}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot T_{\text{Земли}} \]
Таким образом, период колебаний математического маятника на планете больше, чем на Земле, в \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) раза.
