Из 110 участников международной олимпиады английский язык знают 37 студентов, немецкий - 32, французский - 42, английский и немецкий - 11, английский и французский - 14, немецкий и французский - 8, все три языка знают 3 участника. Сколько участников международной олимпиады не знают ни одного из трех названных языков?

Для решения данной задачи воспользуемся принципом включения-исключения.

Обозначим:

• A — множество студентов, знающих английский язык (|A| = 37),
• B — множество студентов, знающих немецкий язык (|B| = 32),
• C — множество студентов, знающих французский язык (|C| = 42).

Также у нас есть данные о пересечениях множеств:

• |A ∩ B| = 11 (знают английский и немецкий),
• |A ∩ C| = 14 (знают английский и французский),
• |B ∩ C| = 8 (знают немецкий и французский),
• |A ∩ B ∩ C| = 3 (знают все три языка).

Теперь используем формулу для нахождения количества студентов, знающих хотя бы один из языков:

\[ |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| \]

Подставим известные значения:

\[ |A ∪ B ∪ C| = 37 + 32 + 42 - 11 - 14 - 8 + 3 \] \[ = 111 - 33 + 3 = 81 \]

Теперь найдём количество участников, которые не знают ни одного из языков. Всего участников 110, значит:

\[ 110 - |A ∪ B ∪ C| = 110 - 81 = 29 \]

Таким образом, количество участников, которые не знают ни одного из трех языков, равно 29.