Два угла треугольника равны 60° и 45", а сторона, лежа- щая против большего из них, равна 3√2 см. Найдите сторону треугольника, лежащую против меньшего из данных углов

Чтобы найти сторону треугольника, лежащую против меньшего угла (60°), используем закон синусов. Напомним, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла выражается одинаково для всех сторон:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где \( a, b, c \) — длины сторон, а \( A, B, C \) — углы, противолежащие этим сторонам.

В данном случае:

• Угол \( A = 60° \)
• Угол \( B = 45° \)
• Угол \( C = 180° - 60° - 45° = 75° \)
• Сторона \( c \) (против угла 75°) равна \( 3\sqrt{2} \) см.

Теперь найдем сторону \( a \) (против угла 60°):

1. Сначала запишем уравнение по закону синусов:

\[ \frac{a}{\sin 60°} = \frac{c}{\sin 75°} \]

2. Подставим известные значения синусов:

\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

3. Тогда уравнение будет выглядеть так:

\[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

4. Решим правую часть уравнения:

\[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

5. Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

6. Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ a = \frac{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]

7. Упростим это:

\[ a = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Таким образом, длина стороны, лежащей против угла 60°, составляет \( \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \) см.

Это и есть искомая сторона треугольника.