в кубе ABCD A1B1C1D1 точки E и K середины ребра соответственно A1 B1 и B1 C1. Найдите косинус угла между прямыми EA и BK
Для начала, давайте обозначим некоторые точки и векторы в кубе ABCD A1B1C1D1.
Предположим, что куб имеет длину ребра 1 и его вершины находятся в следующих координатах:
- A(0, 0, 0)
- B(1, 0, 0)
- C(1, 1, 0)
- D(0, 1, 0)
- A1(0, 0, 1)
- B1(1, 0, 1)
- C1(1, 1, 1)
- D1(0, 1, 1)
Теперь найдем координаты точек E и K.
Точка E - середина ребра A1B1: \[ E\left(\frac{0+1}{2}, 0, 1\right) = E\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right) \]
Точка K - середина ребра B1C1: \[ K\left(1, \frac{0+1}{2}, 1\right) = K\left(1, \frac{1}{2}, 1\right) \]
Теперь найдем векторы EA и BK.
Вектор EA: \[ \overrightarrow{EA} = A - E = (0, 0, 0) - \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, -1\right) \]
Вектор BK: \[ \overrightarrow{BK} = K - B = \left(1, \frac{1}{2}, 1\right) - (1, 0, 0) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right) \]
Теперь найдем косинус угла между векторами \(\overrightarrow{EA}\) и \(\overrightarrow{BK}\). Для этого воспользуемся формулой:
\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{BK}}{|\overrightarrow{EA}| |\overrightarrow{BK}|} \]
Сначала найдем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{BK} = \left(-\frac{1}{2}, 0, -1\right) \cdot \left(0, \frac{1}{2}, 1\right) = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot 1 = -1 \]
Теперь найдем длины векторов \( |\overrightarrow{EA}| \) и \( |\overrightarrow{BK}| \): \[ |\overrightarrow{EA}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]
\[ |\overrightarrow{BK}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]
Теперь подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{-1}{\frac{5}{4}} = -\frac{4}{5} \]
Таким образом, косинус угла между прямыми EA и BK равен \(-\frac{4}{5}\).
