2. Из 110 участников международной олимпиады английский язык знают 37 студентов, немецкий - 32, французский - 42, английский и немецкий - 11, английский и французский - 14,…

Для решения задачи воспользуемся принципом включения-исключения.

Обозначим:

• \( A \) — количество студентов, знающих английский,
• \( B \) — количество студентов, знающих немецкий,
• \( C \) — количество студентов, знающих французский.

Дано:

• \( |A| = 37 \)
• \( |B| = 32 \)
• \( |C| = 42 \)
• \( |A \cap B| = 11 \)
• \( |A \cap C| = 14 \)
• \( |B \cap C| = 8 \)
• \( |A \cap B \cap C| = 3 \)

Теперь применим формулу для нахождения количества студентов, знающих хотя бы один язык:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставим данные в формулу:

\[ |A \cup B \cup C| = 37 + 32 + 42 - 11 - 14 - 8 + 3 \]

Сначала посчитаем сумму:

\[ |A \cup B \cup C| = 111 - 33 + 3 = 81 \]

Теперь из общего числа участников (110) найдем количество студентов, которые не знают ни одного языка:

\[ 110 - |A \cup B \cup C| = 110 - 81 = 29 \]

Таким образом, количество участников международной олимпиады, которые не знают ни одного из трех языков, равно 29.