Найти площадь поверхности прямой треугольной призмы в основании который лежит прямоугольный треугольник с катетом 6 см и гипотенузой 10 см, если высота призмы равна 5 см
Для того чтобы найти площадь поверхности прямой треугольной призмы, необходимо рассмотреть две части: площадь основания призмы и площадь боковых сторон.
Площадь основания: Основание призмы — это прямоугольный треугольник. В данном случае известно, что один катет равен 6 см, а гипотенуза — 10 см. Чтобы найти другой катет, можно воспользоваться теоремой Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2, \]
где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.
Подставим известные значения:
\[ 6^2 + b^2 = 10^2, \] \[ 36 + b^2 = 100, \] \[ b^2 = 100 - 36 = 64, \] \[ b = \sqrt{64} = 8 \text{ см}. \]
Теперь мы знаем оба катета: \( a = 6 \text{ см} \) и \( b = 8 \text{ см} \). Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2. \]
Площадь боковых сторон: Боковые стороны призмы представляют собой прямоугольники. У нас есть три боковые стороны:
- Две стороны имеют размеры 5 см (высота призмы) и один из катетов основания (6 см и 8 см соответственно).
- Третья боковая сторона — это гипотенуза призмы (10 см) с высотой 5 см.
Площадь боковых сторон:
- Для стороны с катетом 6 см: \[ S_1 = 6 \times 5 = 30 \text{ см}^2. \]
- Для стороны с катетом 8 см: \[ S_2 = 8 \times 5 = 40 \text{ см}^2. \]
- Для стороны с гипотенузой 10 см: \[ S_3 = 10 \times 5 = 50 \text{ см}^2. \]
Теперь найдем общую площадь боковых сторон: \[ S_{\text{боковых}} = S_1 + S_2 + S_3 = 30 + 40 + 50 = 120 \text{ см}^2. \]
Общая площадь поверхности призмы: Сравним площадь основания с площадью боковых сторон. \[ S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основания}} + S_{\text{боковых}} = 2 \times 24 + 120 = 48 + 120 = 168 \text{ см}^2. \]
Итак, площадь поверхности прямой треугольной призмы составляет 168 см².
