Через середину высоты усеченного конуса проведено сечение,параллельное основаниям. Площадь этого сечения равна 81 см, а площадь большего основания-121. Найдите площадь меньшего основания усеченного конуса
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами усеченного конуса. Дано:
- Площадь сечения \( S_{\text{сечения}} = 81 \, \text{см}^2 \)
- Площадь большего основания \( S_{\text{большого}} = 121 \, \text{см}^2 \)
Обозначим площадь меньшего основания как \( S_{\text{меньшего}} \).
Сечения усеченного конуса, проведенные параллельно основаниям, создают подобные фигуры. Поскольку сечение прошло через середину высоты усеченного конуса, то отношение площадей сечения и оснований будет равно квадрату отношения высот:
\[ \frac{S_{\text{сечения}}}{S_{\text{большого}}} = \left( \frac{h/2}{h} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]
Мы знаем, что площадь сечения равна \( 81 \, \text{см}^2 \) и площадь большего основания равна \( 121 \, \text{см}^2 \). Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{81}{121} = \frac{1}{4} \]
Это уравнение необходимо модифицировать, чтобы выразить площадь меньшего основания. Сначала найдем значение площади меньшего основания, зная, что
\[ \frac{S_{\text{меньшего}}}{S_{\text{большого}}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \]
Таким образом, имеем:
\[ \frac{S_{\text{меньшего}}}{121} = \frac{1}{4} \]
Теперь можно выразить \( S_{\text{меньшего}} \):
\[ S_{\text{меньшего}} = 121 \cdot \frac{1}{4} = \frac{121}{4} = 30.25 \, \text{см}^2 \]
Итак, площадь меньшего основания усеченного конуса равна \( 30.25 \, \text{см}^2 \).
