Маша и Петя играют в игру на клетчатом поле. Каждый из них имеет свою область на поле и может поставить в свой ход «+» или «-» в свою клеточку. Ребята посчитали, что у Маши 128…
Маша и Петя играют в игру на клетчатом поле. Каждый из них имеет свою область на поле и может поставить в свой ход «+» или «-» в свою клеточку. Ребята посчитали, что у Маши 128 различных вариантов заполнить свою область поля, и на ней на две клеточки меньше, чем у Пети. Сколько вариантов заполнения своей области поля у Пети?
Давайте разберемся с задачей. У Маши есть 128 различных вариантов заполнения своей области поля. Предположим, что у Маши на \( n \) клеток меньше, чем у Пети. Тогда, если область Пети содержит \( m \) клеток, мы имеем:
\[ n = m - 2 \]
Поскольку Маша имеет 128 вариантов, мы можем связать количество клеток и количество вариантов заполнения. Для поля с \( k \) клетками количество способов заполнения одинаковыми знаками “+” или “-” можно выразить как \( 2^k \).
Таким образом, для Маши можно записать:
\[ 2^k = 128 \]
Решим это уравнение.
Для поиска \( k \):
\[ 2^k = 128 \] \[ 128 = 2^7 \]
Это означает, что у Маши \( k = 7 \) клеток. Поскольку у Маши на 2 клеточки меньше, чем у Пети, можем найти \( m \):
\[ m = k + 2 = 7 + 2 = 9 \]
Теперь, чтобы найти количество вариантов заполнения области Пети, посчитаем \( 2^m \):
\[ 2^9 = 512 \]
Таким образом, у Пети 512 различных вариантов заполнения своей области.
