В треугольнике ABC известно что AC 5√2 см угол B равен 45°, угол C равен 30°. Найдите сторону AB треугольника

В треугольнике ABC нам даны следующие данные: сторона AC равна \( 5\sqrt{2} \) см, угол B равен \( 45^\circ \), а угол C равен \( 30^\circ \). Чтобы найти сторону AB, мы можем использовать закон синусов.

Сначала найдем угол A. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \[ A + B + C = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ A + 45^\circ + 30^\circ = 180^\circ \] \[ A + 75^\circ = 180^\circ \] \[ A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]

Теперь у нас есть все углы треугольника. Применим закон синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \( a \) – это сторона BC (которая нам не нужна), \( b \) – сторона AC \( (5\sqrt{2}) \), а \( c \) – сторона AB.

Зная сторону AC и угол A, теперь мы можем найти сторону AB (c): \[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} \] Запишем: \[ \frac{c}{\sin 105^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} \] Сначала найдем значение \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \[ \frac{5\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \]

Теперь можем использовать это уравнение для нахождения \( c \): \[ c = 10\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ \] Чтобы найти \(\sin 105^\circ\), воспользуемся тождеством: \[ \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ \]

Значение \(\cos 15^\circ\) можно определить как: \[ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим значение: \[ c = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{10\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{5\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]

Упростим окончательно: \[ c = \frac{5\sqrt{12} + 10}{2} = \frac{10 + 5\cdot2}{2} = \frac{10 + 10}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Таким образом, сторона AB треугольника равна \( 5\sqrt{3} \) см.