Найдите наименьшие положительные значения х, у, удовлетворяющие уравнению (sinx - cosx) (V3siny + cosy) = 2VZ. В ответ запишите их сумму.

Чтобы решить уравнение \((\sin x - \cos x)(\sqrt{3} \sin y + \cos y) = 2\sqrt{2}\), начнем с анализа выражений в левой части уравнения.

1. Заметим, что максимальные и минимальные значения выражений \(\sin x - \cos x\) и \(\sqrt{3} \sin y + \cos y\) можно определить через их модули.

2. Рассмотрим первое выражение \(\sin x - \cos x\). Мы можем записать его как \(\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\), так как \(\sin x - \cos x\) можно представить в виде : \[ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \] Максимальное значение этого выражения равно \(\sqrt{2}\), а минимальное - \(-\sqrt{2}\).

3. Теперь рассмотрим второе выражение \(\sqrt{3} \sin y + \cos y\). Для него максимальное значение будет равно \(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\). Это достигается при соответствии угла: \[ y = \frac{\pi}{6} \] и \[ y = \frac{7\pi}{6} \]

4. Найдем, при каких значениях этих выражений может выполниться равенство: \[ (\sin x - \cos x)(\sqrt{3} \sin y + \cos y) = 2 \sqrt{2}. \] Это значит, что \(\sin x - \cos x\) должно принимать значение, равное \(1\) (при \(\sqrt{2}\) от множителя) и \(\sqrt{3} \sin y + \cos y\) равно \(2\).

5. Для этого: \(\sin x - \cos x = 1\) достигается при \(x = \frac{3\pi}{4}\).

При \(y = \frac{\pi}{6}\), имеем:

\[ \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}, \] что меньше необходимого.

6. Следовательно,\(y = \frac{\pi}{3}\): \[ \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2, \]

Теперь нам нужно найти наименьшие положительные значения \(x\) и \(y\):

\[ x = \frac{3\pi}{4}, y = \frac{\pi}{3}. \]

Находим их сумму: \[ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}. \] Для сложения найдем общий знаменатель (12): \[ \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12} \Rightarrow \frac{9\pi + 4\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}. \]

Таким образом, ответ: \[ \frac{13\pi}{12}. \]