найдите область значений функции у=х²-6х-13 где принадлежит [-2;7]
Чтобы найти область значений функции \( y = x^2 - 6x - 13 \) на отрезке \( x \in [-2; 7] \), сначала нужно исследовать саму функцию.
Запишем функцию в канонической форме. Для этого найдем вершину параболы, представив её в виде \( y = a(x - h)^2 + k \), где \( (h, k) \) — координаты вершины.
Начнем с выделения полного квадрата: \[ y = x^2 - 6x - 13 \] Для выделения полного квадрата добавим и вычтем \( 9 \) (это \( \left(\frac{6}{2}\right)^2 \)): \[ y = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 13 \] \[ y = (x - 3)^2 - 22 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, -22) \). Парабола открыта вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен.
Теперь найдем значения функции на границах нашего отрезка:
- Для \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^2 - 6(-2) - 13 = 4 + 12 - 13 = 3 \]
- Для \( x = 7 \): \[ y(7) = 7^2 - 6 \cdot 7 - 13 = 49 - 42 - 13 = -6 \]
Теперь оценим значение функции в точке, где находится вершина, то есть в \( x = 3 \): \[ y(3) = (3 - 3)^2 - 22 = 0 - 22 = -22 \]
Подтверждаем, что на отрезке \( [-2; 7] \) функция принимает значения от -22 до 3. Поскольку на этом отрезке функция принимает минимальное значение в вершине и максимальное — на границе отрезка, мы можем записать, что область значений функции \( y \) на интервале \( x \in [-2; 7] \) определена следующим образом: \[ [-22; 3]. \]
Таким образом, область значений функции \( y = x^2 - 6x - 13 \) на отрезке \( [-2; 7] \) равна \( [-22; 3] \).
