3. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 96 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу линейки подвешен груз, масса которого в 4 раза больше…

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, какие силы и моменты действуют на систему.

1. Обозначим массу линейки как \( m \). Тогда масса груза будет \( 4m \).
2. Длина линейки составляет 96 см, и обозначим длину свешивающейся части линейки как \( x \). Это значит, что часть линейки, которая лежит на столе, равна \( 96 - x \).

В равновесии сумма моментов относительно точки опоры (это край стола) должна быть равна нулю.

3. Момент от массы груза, который свисает, равен: \[ M_{\text{груз}} = 4m \cdot x \] Здесь \( x \) — расстояние от края стола до груза.

4. Момент от линейки, которая лежит на столе, рассчитывается с учетом её центра масс, который находится в центре линейки, то есть на расстоянии \( \frac{96 - x}{2} \) от края стола: \[ M_{\text{линейка}} = m \cdot \left( \frac{96 - x}{2} \right) \]

5. В равновесии сумма моментов должна равняться нулю: \[ M_{\text{груз}} = M_{\text{линейка}} \] Подставим найденные выражения: \[ 4m \cdot x = m \cdot \left( \frac{96 - x}{2} \right) \]

6. Упростим уравнение, убрав массу \( m \) (она не равна нулю): \[ 4x = \frac{96 - x}{2} \]

7. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 8x = 96 - x \]

8. Переносим \( x \) на одну сторону: \[ 8x + x = 96 \] \[ 9x = 96 \]

9. Разделим обе стороны на 9: \[ x = \frac{96}{9} \approx 10.67 \text{ см} \]

Итак, длина свешивающейся части линейки составляет приблизительно 10.67 см.