Дан некоторый числовой набор .Известно что сумма отклонений от среднего всех чисел кроме последнего равна 53 найдите отклонение последнего числа
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим, что такое отклонение от среднего числа. Отклонение числа от среднего (среднего арифметического) – это разница между значением этого числа и средним значением набора.
Дано, что сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, равна 53. Обозначим:
- \( S \) — сумму всех чисел в наборе.
- \( n \) — количество чисел в наборе.
- \( x_n \) — последнее число в наборе.
- \( M \) — среднее арифметическое всех чисел, что вычисляется как \( M = \frac{S}{n} \).
Теперь, если исключить последнее число, то сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, будет считаться по формуле:
\[ S_{n-1} = S - x_n \]
Тогда среднее для первых \( n-1 \) чисел:
\[ M_{n-1} = \frac{S - x_n}{n - 1} \]
Сумма отклонений от этого среднего для первых \( n-1 \) чисел равна 53. Поскольку отклонение любого числа может быть положительным или отрицательным, общая сумма отклонений всегда равна нулю. Однако сумма отклонений от среднего, по сути, должна равняться 53, что является абсолютным значением отклонений.
Каждое число \( x_i \) (где \( i \) от 1 до \( n-1 \)) с точки зрения отклонения ведёт себя следующим образом:
\[ D_i = x_i - M_{n-1} \]
Таким образом для последнего числа:
\[ D_n = x_n - M \]
Так как среднее арифметическое всех чисел \( M \) может быть выражено через \( M_{n-1} \) как:
\[ M = \frac{(S - x_n) + x_n}{n} = \frac{S}{n} \]
Теперь можно записать общее смещение, учитывая последний элемент:
Поскольку сумма отклонений первых \( n-1 \) чисел равна 53, из этого следует, что не последнее число в \( n-ой \) позиции, чтобы сумма отклонений была нолем, должно быть, что:
\[ D_n = -53 \]
Итак, отклонение последнего числа равно \( -53 \). Это означает, что последнее число ниже среднего на 53.
