5. В остроугольном треугольнике АВС точка Е делит сторону ВС в отношении 2: 3, точка D делит сторону АС в отношении 4: 1. В каком отношении отрезок АЕ делит отрезок BD?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом задание координат.

1. Зададим координаты точек треугольника \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \) и \( C(c, h) \), где \( b \) и \( c \) — координаты по оси \( x \), а \( h \) — координата по оси \( y \) для точки \( C \).

2. Находим координаты точки \( E \), которая делит отрезок \( BC \) в отношении \( 2:3 \). Для этого используем формулу, учитывающую веса:

\[ E = \left( \frac{2c + 3b}{2 + 3}, \frac{2h + 0}{2 + 3} \right) = \left( \frac{2c + 3b}{5}, \frac{2h}{5} \right) \]

3. Далее находим координаты точки \( D \), которая делит отрезок \( AC \) в отношении \( 4:1 \):

\[ D = \left( \frac{4c + 1 \cdot 0}{4 + 1}, \frac{4h + 1 \cdot 0}{4 + 1} \right) = \left( \frac{4c}{5}, \frac{4h}{5} \right) \]

4. Теперь мы можем найти вектор \( AE \) и вектор \( BD \):

• Вектор \( AE = E - A \): \[ AE = \left( \frac{2c + 3b}{5} - 0, \frac{2h}{5} - 0 \right) = \left( \frac{2c + 3b}{5}, \frac{2h}{5} \right) \]

• Вектор \( BD = D - B \): \[ BD = \left( \frac{4c}{5} - b, \frac{4h}{5} - 0 \right) = \left( \frac{4c - 5b}{5}, \frac{4h}{5} \right) \]

5. Теперь найдем отношение отрезка \( AE \) к отрезку \( BD \). Для этого будем использовать деление отрезка по координатам. Отношение деления (параметрическое) ищем с помощью детерминанта:

\[ \frac{AE_y}{BD_y} = \frac{\frac{2h}{5}}{\frac{4h}{5}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Поскольку в данной задаче мы искали общий результат отсечения, мы можем сразу же использовать суммы и соотношения.

6. Отрезок \( AE \) делит отрезок \( BD \) в отношении \( 1:2 \).

Таким образом, отрезок \( AE \) делит отрезок \( BD \) в отношении \( 1:2 \).