Найдите размах, дисперсию и стандартное отклонение числового набора: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Для каких значений ряда отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения?

Давайте сначала найдем размах, дисперсию и стандартное отклонение для заданного числового набора: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

1. Размах

Размах (R) набора данных определяется как разность между максимальным и минимальным значениями: \[ R = X_{max} - X_{min} = 8 - 1 = 7. \]

2. Среднее значение

Сначала найдем среднее значение (μ) набора: \[ \mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4.5. \]

3. Дисперсия

Теперь найдем дисперсию (σ²). Дисперсия рассчитывается по формуле: \[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2, \] где \(N\) — количество элементов в наборе.

Подставим значения:

• \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 4\), \(x_5 = 5\), \(x_6 = 6\), \(x_7 = 7\), \(x_8 = 8\).
• \(N = 8\).

Расчитаем квадраты отклонения от среднего: \[ (1 - 4.5)^2 = 12.25, \] \[ (2 - 4.5)^2 = 6.25, \] \[ (3 - 4.5)^2 = 2.25, \] \[ (4 - 4.5)^2 = 0.25, \] \[ (5 - 4.5)^2 = 0.25, \] \[ (6 - 4.5)^2 = 2.25, \] \[ (7 - 4.5)^2 = 6.25, \] \[ (8 - 4.5)^2 = 12.25. \]

Теперь сложим эти значения: \[ 12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25 = 42. \]

Теперь можно вычислить дисперсию: \[ \sigma^2 = \frac{42}{8} = 5.25. \]

4. Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (σ) — это квадратный корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{5.25} \approx 2.29. \]

5. Значения, отклонение от среднего которых не превышает стандартное отклонение

Теперь найдем значения, для которых отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения.

Стандартное отклонение \( \sigma \approx 2.29\), следовательно, ищем значения \(x\) такие, что: \[ |\mu - x| \leq \sigma, \] или \[ 4.5 - 2.29 \leq x \leq 4.5 + 2.29, \] что соответствует: \[ 2.21 \leq x \leq 6.79. \]

Из первоначального набора значений 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, удовлетворяют этому условию:

• 2, 3, 4, 5, 6.

Результат

• Размах: 7
• Дисперсия: 5.25
• Стандартное отклонение: примерно 2.29
• Значения, отклонение от среднего которых не превышает стандартного отклонения: 2, 3, 4, 5, 6.