Найдите размах, дисперсию и стандартное отклонение числового набора: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Для каких значений ряда отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения?

Давайте выполним необходимые расчёты для числового набора: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Шаг 1: Найдем размах

Размах (R) вычисляется как разность между максимумом и минимумом набора:

\[ R = \max - \min = 8 - 1 = 7 \]

Шаг 2: Найдем среднее арифметическое

Среднее арифметическое (M) вычисляется как сумма всех чисел, делённая на количество элементов:

\[ M = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4.5 \]

Шаг 3: Найдем дисперсию

Дисперсия (\(\sigma^2\)) вычисляется по формуле:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - M)^2 \]

где \(N\) — количество элементов, \(x_i\) — элементы набора.

Сначала найдем отклонения от среднего и их квадраты:

\[ \begin{align*} (1 - 4.5)^2 & = ( -3.5)^2 = 12.25 \\ (2 - 4.5)^2 & = ( -2.5)^2 = 6.25 \\ (3 - 4.5)^2 & = ( -1.5)^2 = 2.25 \\ (4 - 4.5)^2 & = ( -0.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 4.5)^2 & = (0.5)^2 = 0.25 \\ (6 - 4.5)^2 & = (1.5)^2 = 2.25 \\ (7 - 4.5)^2 & = (2.5)^2 = 6.25 \\ (8 - 4.5)^2 & = (3.5)^2 = 12.25 \\ \end{align*} \]

Теперь найдем сумму этих квадратов:

\[ 12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25 = 42 \]

Теперь можем найти дисперсию:

\[ \sigma^2 = \frac{42}{8} = 5.25 \]

Шаг 4: Найдем стандартное отклонение

Стандартное отклонение (\(\sigma\)) — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{5.25} \approx 2.29 \]

Шаг 5: Найдем значения, для которых отклонение от среднего не превышает стандартное отклонение

Отклонение от среднего (\(|x - M|\)) должно быть меньше или равно стандартному отклонению (\(\sigma\)):

\[ |x - 4.5| \leq 2.29 \]

Это приводит к следующему неравенству:

\[ 4.5 - 2.29 \leq x \leq 4.5 + 2.29 \]

Преобразуем неравенство:

\[ 2.21 \leq x \leq 6.79 \]

Таким образом, в исходном наборе чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, те значения, которые попадают в этот диапазон:

3, 4, 5, 6

Ответ:

• Размах: 7
• Дисперсия: 5.25
• Стандартное отклонение: около 2.29

Для значений ряда, где отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения: 3, 4, 5, 6.