(х-1)³>1

Чтобы решить неравенство \((x-1)^3 > 1\), давайте сначала упростим его.

1. Переносим 1 на левую сторону неравенства: \[ (x-1)^3 - 1 > 0 \]

2. Теперь воспользуемся формулой разности кубов: \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \] В нашем случае \(a = (x-1)\) и \(b = 1\). Тогда: \[ (x-1)^3 - 1 = (x-1-1)((x-1)^2 + (x-1) \cdot 1 + 1^2) \] То есть, упрощая: \[ (x-2)((x-1)^2 + (x-1) + 1) > 0 \]

3. Давайте посмотрим на второй множитель: \[ (x-1)^2 + (x-1) + 1 \] Это квадратный трёхчлен, и он всегда положителен, так как его дискриминант: \[ D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 \] Таким образом, этот множитель никогда не равен нулю и всегда положителен.

4. Теперь нам нужно проанализировать неравенство: \[ (x-2) > 0 \] Это неравенство выполняется, когда \(x > 2\).

5. Ответ: \[ x > 2 \]

Таким образом, решение неравенства \((x-1)^3 > 1\) — это все значения \(x\), которые больше 2.