Реши задачу на фото
Чтобы найти площадь треугольника с заданными координатами вершин, можно воспользоваться формулой для площади треугольника в пространстве.
Координаты точек:
- \( A (1, -1, 2) \)
- \( B (5, -6, 2) \)
- \( C (1, 3, -1) \)
Нужно найти векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \).
- \( \overrightarrow{AB} = B - A = (5 - 1, -6 + 1, 2 - 2) = (4, -5, 0) \)
- \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 1, 3 + 1, -1 - 2) = (0, 4, -3) \)
Далее, найдем векторное произведение этих векторов (крестовое произведение):
\( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -5 & 0 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix} \)
Вычислим:
- Для \(\mathbf{i}\): \((-5) \cdot (-3) - 0 \cdot 4 = 15\)
- Для \(\mathbf{j}\): \(-(4 \cdot (-3) - 0 \cdot 0) = -12\)
- Для \(\mathbf{k}\): \(4 \cdot 4 - (-5 \cdot 0) = 16\)
Векторное произведение: \( (15, -12, 16) \)
Найдем модуль полученного вектора:
\(\sqrt{15^2 + (-12)^2 + 16^2} = \sqrt{225 + 144 + 256} = \sqrt{625} = 25\)
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:
Площадь = \( \frac{25}{2} = 12.5 \)
Так что площадь треугольника равна 12.5.
