3х²-7x+2<0
Чтобы решить неравенство \(3x^2 - 7x + 2 < 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(3x^2 - 7x + 2 = 0\). Для этого используем формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 3\), \(b = -7\) и \(c = 2\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \]
Дискриминант положительный, что означает, что у уравнения два различных корня. Подставим значения в формулу:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = \frac{1}{3}\). Неравенство \(3x^2 - 7x + 2 < 0\) указывает на то, что мы ищем промежутки \(x\), где парабола, открытая вверх (так как \(a = 3 > 0\)), находится ниже оси абсцисс.
Теперь нам нужно определить знаки функции на интервалах, которые образуют найденные корни:
- \(x < \frac{1}{3}\)
- \(\frac{1}{3} < x < 2\)
- \(x > 2\)
Выберем тестовые значения для каждого интервала:
Для \(x < \frac{1}{3}\) (например, \(x = 0\)): \[ 3(0)^2 - 7(0) + 2 = 2 > 0 \] Значит, на этом интервале функция положительна.
Для \(\frac{1}{3} < x < 2\) (например, \(x = 1\)): \[ 3(1)^2 - 7(1) + 2 = 3 - 7 + 2 = -2 < 0 \] Значит, на этом интервале функция отрицательна.
Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \[ 3(3)^2 - 7(3) + 2 = 27 - 21 + 2 = 8 > 0 \] Значит, на этом интервале функция снова положительна.
Таким образом, неравенство \(3x^2 - 7x + 2 < 0\) выполняется в интервале:
\[ \frac{1}{3} < x < 2 \]
Вывод: решение неравенства — это промежуток \(\left(\frac{1}{3}, 2\right)\).
