3. На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них 10м², другого 8 м², третьего 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола…
3. На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них 10м², другого 8 м², третьего 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола покрытого всеми тремя коврами, составляет ровно 1 м². Найдите площадь которая а) покрыта коврами; б) покрыта 1 и 2 ковром, но не покрыта третьим ковром; в) покрыта только первым ковром; г) не покрыта коврами.
Давайте разберемся с задачей поэтапно.
Исходные данные:
- Площадь пола комнаты: 24 м²
- Площадь первого ковра: 10 м²
- Площадь второго ковра: 8 м²
- Площадь третьего ковра: 6 м²
- Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м².
- Площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами: 1 м².
Теперь найдем требуемую площадь.
а) Найдем общую площадь, покрытую коврами. Используем формулу включения-исключения для нахождения площади, покрытой всеми коврами:
\[ S(ковры) = S_1 + S_2 + S_3 - S_{12} - S_{13} - S_{23} + S_{123} \]
Где:
- \( S_1 = 10 \, \text{м²} \) (площадь первого ковра)
- \( S_2 = 8 \, \text{м²} \) (площадь второго ковра)
- \( S_3 = 6 \, \text{м²} \) (площадь третьего ковра)
- \( S_{12} = 3 \, \text{м²} \) (перекрытие первого и второго ковра)
- \( S_{13} = 3 \, \text{м²} \) (перекрытие первого и третьего ковра)
- \( S_{23} = 3 \, \text{м²} \) (перекрытие второго и третьего ковра)
- \( S_{123} = 1 \, \text{м²} \) (перекрытие всех трех ковров)
Теперь подставим значения в формулу:
\[ S(ковры) = 10 + 8 + 6 - 3 - 3 - 3 + 1 = 16 \, \text{м²} \]
Ответ: Площадь, покрытая коврами, составляет 16 м².
б) Теперь найдем площадь, покрытую первым и вторым ковром, но не покрытую третьим ковром. Для этого нам нужно вычесть площадь покрытия третьего ковра из перекрытия первых двух, включая учитываемое перекрытие с третьим:
\[ S(1 \cap 2) = S_{12} - S_{123} = 3 - 1 = 2 \, \text{м²} \]
Ответ: Площадь, покрытая первым и вторым ковром, но не покрытая третьим, составляет 2 м².
в) Чтобы найти площадь, покрытую только первым ковром, вычтем все перекрытия, связанные с первым ковром, из его площади:
\[ S(1 \, только) = S_1 - (S_{12} + S_{13} - S_{123}) = 10 - (3 + 3 - 1) = 10 - 5 = 5 \, \text{м²} \]
Ответ: Площадь, покрытая только первым ковром, составляет 5 м².
г) Наконец, найдем площадь, не покрытую коврами. Для этого вычтем общую покрытую площадь из площади пола:
\[ S(не покрыто) = S(пол) - S(ковры) = 24 - 16 = 8 \, \text{м²} \]
Ответ: Площадь, не покрытая коврами, составляет 8 м².
Таким образом, мы нашли все необходимые площади! Если есть дополнительные вопросы по данной задаче или другим темам, не стесняйтесь задавать!
