X+√3x+7=7

Давайте решим уравнение \( x + \sqrt{3x + 7} = 7 \).

1. Переносим \( x \) на правую сторону: \[ \sqrt{3x + 7} = 7 - x \]

2. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ 3x + 7 = (7 - x)^2 \]

3. Раскрываем квадрат правой стороны: \[ 3x + 7 = 49 - 14x + x^2 \]

4. Соберем все слагаемые на одной стороне уравнения: \[ 0 = x^2 - 17x + 42 \]

5. Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 289 - 168 = 121 \]

6. Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 11}{2} \]

   Это дает нам два решения: \[ x_1 = \frac{28}{2} = 14 \] \[ x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]

7. Проверяем найденные корни в исходном уравнении:

   • Для \( x = 14 \): \[ 14 + \sqrt{3 \cdot 14 + 7} = 14 + \sqrt{42 + 7} = 14 + \sqrt{49} = 14 + 7 = 21 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Для \( x = 3 \): \[ 3 + \sqrt{3 \cdot 3 + 7} = 3 + \sqrt{9 + 7} = 3 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \quad (\text{подходит}) \]

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 3 \).