Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, нужно сначала определить длины катетов. Дано, что разность катетов равна 23 дм, а гипотенуза – 37 дм.
Обозначим катеты как \( a \) и \( b \), где \( a > b \). Исходя из условия, у нас есть два уравнения:
- \( a - b = 23 \) (разность катетов)
- \( a^2 + b^2 = 37^2 \) (по теореме Пифагора)
Теперь выразим \( a \) через \( b \) из первого уравнения:
\( a = b + 23 \)
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ (b + 23)^2 + b^2 = 37^2 \]
Распишем уравнение:
\[ (b^2 + 46b + 529) + b^2 = 1369 \]
Соберем подобные:
\[ 2b^2 + 46b + 529 = 1369 \]
Упростим уравнение:
\[ 2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0 \] \[ 2b^2 + 46b - 840 = 0 \]
Разделим все коэффициенты на 2:
\[ b^2 + 23b - 420 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ b = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 \pm 47}{2} \]
Решения:
- \( b_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( b_2 = \frac{-70}{2} = -35 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Таким образом, \( b = 12 \). Подставив значение в первую формулу, найдем \( a \):
\[ a = b + 23 = 12 + 23 = 35 \]
Теперь у нас есть длины катетов \( a = 35 \) дм и \( b = 12 \) дм. Теперь можем найти периметр \( P \) треугольника:
\[ P = a + b + c = 35 + 12 + 37 \]
Вычислим:
\[ P = 84 \text{ дм} \]
Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 84 дм.
