Угол между диагоналями прямоугольника равен 60. Меньшая сторона прямоугольника равна 8,5 см. Найдите длину диагонали прямоугольника.

Для решения задачи начнем с того, что обозначим стороны прямоугольника. Пусть меньшая сторона равна \( a = 8,5 \) см, а большая сторона равна \( b \).

Согласно свойствам прямоугольника, диагонали пересекаются под углом, равным углу между ними. У нас есть угол \( \alpha = 60^\circ \). Мы можем воспользоваться формулой, связывающей стороны прямоугольника и угол между диагоналями:

\[ d^2 = a^2 + b^2 \]

где \( d \) — это длина диагонали.

Так как мы знаем угол между диагоналями, то можем использовать тригонометрические соотношения. Углы между диагоналями и сторонами прямоугольника равны углам, и мы можем выразить сторону \( b \) через сторону \( a \) и угол \( \alpha \):

Используя синус для расчёта угла между диагоналями, мы получаем:

\[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \]

Подставляем известные значения:

\[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \implies \sqrt{3} = \frac{8,5}{b} \]

Отсюда выразим сторону \( b \):

\[ b = \frac{8,5}{\sqrt{3}} \approx 4,9 \text{ см} \]

Теперь мы можем найти длину диагонали \( d \):

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(8,5)^2 + (4,9)^2} \]

Сначала вычислим:

\[ (8,5)^2 = 72,25 \] \[ (4,9)^2 = 24,01 \] \[ d = \sqrt{72,25 + 24,01} = \sqrt{96,26} \approx 9,81 \text{ см} \]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника составляет примерно \( 9,81 \) см.