При повороте квадрата АВСD около вершины А, при котором точка В перешла в точку D, получился квадрат ADA_1D_1. Сторона АВ равна а. Найдите СD_1 и С _1.
Для решения задачи о вращении квадрата ABCD вокруг точки A, необходимо сначала понять, как происходит это вращение и какие координаты будут у вершин нового квадрата ADA₁D₁.
Пусть у нас есть квадрат ABCD, где A(0, 0), B(a, 0), C(a, a) и D(0, a). При этом сторона AB равна a.
В процессе вращения квадрата вокруг вершины A, точка B перемещается в точку D. Это означает, что точка B, находящаяся на координатах (a, 0), после поворота будет находиться на координатах точки D(0, a).
Теперь рассмотрим, как будут располагаться новые точки A₁ и D₁ после поворота. В результате поворота точки B и D относительно A, все точки будут находиться на одном расстоянии от точки A, и их расположение изменится.
В итоге, после вращения квадрата мы получаем квадрат ADA₁D₁. Поскольку мы провели вращение на 90 градусов, новая вершина A₁ будет находиться на положении точки C. Таким образом, координаты A₁ станут (a, a).
Теперь найдем координаты точки D₁. Поскольку D изначально находился в (0, a) и вращение также будет происходить на 90 градусов, точка D₁ будет иметь координаты (0, 0), что соответствует координатам точки A. Но так как D теперь также участвует в новом квадрате ADA₁D₁, мы можем утверждать, что точка D₁ будет на координатах (a, 0).
Теперь можем найти длину стороны CD₁:
- Длина отрезка CD₁ можно выразить через координаты C(a, a) и D₁(a, 0). Используем формулу для расстояния: \( CD_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) где \( x_1 = a, y_1 = a, x_2 = a, y_2 = 0 \).
Таким образом: \[ CD_1 = \sqrt{(a - a)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{0 + a^2} = a \]
- С учётом всего вышесказанного, у нас теперь есть ответы на вопросы:
- \( C D_1 = a \)
- \( S_1 = a^2 \) (поскольку квадраты имеют одинаковые стороны и площадь равна квадрату длины стороны).
Таким образом, стороны \( CD_1 \) и площадь \( S_1 \) квадрата равны \( a \) и \( a^2 \) соответственно.
