1. В равнобедренной трапеции диоганаль состовляет с боковой стороной угол в 120 градусов. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции 2. Впрямоугольнотрапеции острый угол и угол, который состовляет меньшая диоганаль с меньшим основанием, равный 60 градусов. Найдите отношение оснований

1. В равнобедренной трапеции обозначим основание \(AB\) (меньшее), основание \(CD\) (большее), боковые стороны \(AD\) и \(BC\) (равные). Поскольку угол между диагональю \(AC\) и боковой стороной \(AD\) равен \(120^\circ\), то угол \(DAC\) будет \(60^\circ\) (так как \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)).

Кроме того, в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, то есть \( \angle DAB = \angle ABC = 60^\circ\).

Теперь найдем другие два угла:

• Угол \(ADC\): \[ \angle ADC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
• Угол \(BCD\): \[ \angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]

Таким образом, углы трапеции \(ABCD\) равны:

• \( \angle DAB = 60^\circ \)
• \( \angle ABC = 60^\circ \)
• \( \angle ADC = 120^\circ \)
• \( \angle BCD = 120^\circ \)

2. В прямоугольной трапеции обозначим основание \(AB\) как меньшее основание, а основание \(CD\) — как большее. Острый угол \( \angle DAB\) равен \(60^\circ\). Это значит, что угол \( \angle ABC\) (прямой угол) равен \(90^\circ\).

По теореме о тангенсе угла в прямоугольной трапеции можно сказать, что: \[ \tan(\angle DAB) = \frac{h}{AB} \] где \(h\) — высота трапеции.

С учетом того, что: \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \] можно записать равенство: \[ \sqrt{3} = \frac{h}{AB} \Rightarrow h = AB \cdot \sqrt{3} \]

Теперь рассмотрим свойство подобия треугольников и основание \(CD\): \[ CD = AB + 2h \cdot \cot(60^\circ) \] где \( \cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Получив \(h\) ранее: \[ CD = AB + 2(AB \cdot \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = AB + 2AB = 3AB \]

Таким образом, отношение оснований: \[ \frac{CD}{AB} = \frac{3AB}{AB} = 3 \]

Итак, отношение оснований прямоугольной трапеции равно 3:1.