Объем конуса равен 24. Через середину высоты паралельно основанию конуса проведено сечение которое является основанием для меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем…

Для решения этой задачи давайте сначала вспомним формулу для вычисления объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]

где \( V \) — объем конуса, \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — его высота.

Дано, что объем большего конуса равен 24. Запишем это:

\[ V_1 = 24 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1. \]

Теперь рассмотрим меньший конус, который образуется при сечении большего конуса. Сечение проходит через середину высоты большего конуса, что означает, что высота меньшего конуса будет равна половине высоты большего конуса:

\[ h_2 = \frac{h_1}{2}. \]

Поскольку меньший конус является подобным большему конусу, то его радиус основания также изменяется пропорционально высоте. Таким образом, радиус основания меньшего конуса будет равен половине радиуса основания большего конуса:

\[ r_2 = \frac{r_1}{2}. \]

Теперь можем найти объем меньшего конуса \( V_2 \):

\[ V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2. \]

Подставим значения \( r_2 \) и \( h_2 \):

\[ V_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r_1}{2}\right)^2 \left(\frac{h_1}{2}\right). \]

Упростим это выражение:

\[ V_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r_1^2}{4}\right) \left(\frac{h_1}{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{r_1^2 h_1}{8} = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1\right). \]

Это значит, что:

\[ V_2 = \frac{1}{8} V_1. \]

Теперь подставим значение объема большего конуса:

\[ V_2 = \frac{1}{8} \cdot 24 = 3. \]

Таким образом, объем меньшего конуса равен 3.