На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD будет принадлежать четырехугольнику AMCD, сначала найдем площади фигур.

1. Площадь прямоугольника ABCD: Если обозначить длину стороны AB как a и длину стороны AD как b, тогда площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = a \times b \]

2. Определение координат точек:

   • Пусть A = (0, 0)
   • B = (a, 0)
   • C = (a, b)
   • D = (0, b)
   • K = ((a/2), 0)
   • L = (a, b/2)
   • M = ((a/2), b)
   • N = (0, b/2)

   Таким образом, точки K, L, M и N являются серединами сторон.

3. Площадь четырехугольника AMCD: Четырехугольник AMCD состоит из двух треугольников: AMB и MCD.

   • Найдем площадь треугольника AMB: \[ S_{AMB} = \frac{1}{2} \times AB \times AM = \frac{1}{2} \times a \times (b/2) = \frac{ab}{4} \]

   • Площадь треугольника MCD, аналогично, равна: \[ S_{MCD} = \frac{1}{2} \times MD \times MC = \frac{1}{2} \times (a/2) \times (b) = \frac{ab}{4} \]

   Сложив обе площади, получаем: \[ S_{AMCD} = S_{AMB} + S_{MCD} = \frac{ab}{4} + \frac{ab}{4} = \frac{ab}{2} \]

4. Вероятность того, что точка принадлежит четырехугольнику AMCD: Формула для вероятности: \[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{2}}{ab} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD принадлежит четырехугольнику AMCD, равна \(\frac{1}{2}\) или 50%.