Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с центром О в точке В. Найдите градусную меру меньшего угла треугольника АОВ, если один из его углов равен 72°. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма всех его внутренних углов равна 1260°? Отношение углов, прилежащих к одной стороне равнобедренной трапеции, равно 1:3. Найдите больший угол.

1. Находим градусную меру меньшего угла треугольника АОВ:

В треугольнике АОВ угол между касательной (прямой, проходящей через точку A и касающейся окружности в точке B) и радиусом OB равен 90°. Поэтому углы AOB и ABO связаны следующим образом:

Угол AOB (обозначим его как α) + угол ABO (обозначим его как β) + угол OAB = 180°.

Так как во всех треугольниках сумма углов равна 180°, и мы знаем, что один из углов (предположительно угол OAB) равен 72°, можем записать уравнение:

α + β + 72° = 180°.

Отсюда:

α + β = 108°.

Так как угол AOB — это угол между радиусом и касательной, нам важно, что угол AOB равен 90° - угол ABO, если угол ABO обозначить как β.

Тогда:

90° + β = 108°, β = 18°.

Следовательно, угол AOB равен 108° - 72° = 36°.

Меньший угол треугольника AOB равен 36°.

2. Находим количество сторон выпуклого многоугольника:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:

\( S = (n - 2) \cdot 180° \),

где \( S \) — сумма внутренних углов, а \( n \) — количество сторон.

Если \( S = 1260° \), уравнение принимает вид:

\( 1260 = (n - 2) \cdot 180 \).

Решим это уравнение:

\( n - 2 = \frac{1260}{180} \), \( n - 2 = 7 \), \( n = 9 \).

Таким образом, выпуклый многоугольник имеет 9 сторон.

3. Находим больший угол равнобедренной трапеции:

Пусть меньший угол равнобедренной трапеции равен x°. Поскольку отношение углов, прилежащих к одной стороне, равно 1:3, мы можем записать:

Меньший угол = x; Больший угол = 3x.

Сумма углов равнобедренной трапеции равна 360°, то есть сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна:

x + 3x = 4x = 180°.

Решим это уравнение:

\( 4x = 180° \), \( x = 45° \).

Таким образом, больший угол:

\( 3x = 3 \cdot 45° = 135° \).

Больший угол равнобедренной трапеции равен 135°.