Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК:КА=4:5, КМ=16.

Для решения данной задачи рассмотрим треугольник ABC с основанием AC. Прямая, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M. Из условия задачи мы знаем, что отношение BK к KA равно 4:5, а длина отрезка KM равна 16.

Сначала обозначим длины отрезков. Пусть BK = 4x и KA = 5x, тогда общая длина отрезка AB будет:

\[ AB = BK + KA = 4x + 5x = 9x. \]

Так как прямая KM параллельна AC, согласно теореме о пропорциональных отрезках (теорема Талеса), мы можем записать следующее отношение для сторон треугольника:

\[ \frac{BK}{KA} = \frac{KM}{AC}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{4x}{5x} = \frac{16}{AC}. \]

Упрощая левую часть, мы получаем:

\[ \frac{4}{5} = \frac{16}{AC}. \]

Теперь решим это уравнение. Перемножаем по диагонали:

\[ 4 \cdot AC = 5 \cdot 16. \]

В результате получаем:

\[ 4 \cdot AC = 80, \]

откуда

\[ AC = \frac{80}{4} = 20. \]

Таким образом, длина стороны AC равна 20.