Отрезок АК - биссектриса треугольника АВС, АВ=10 см, ВК=4см,СК=6 см. Найдите сторону АС и периметр треугольника АВС.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы, которое гласит, что отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению смежных сторон треугольника.

Обозначим сторону \( AC \) как \( x \).

Согласно свойству биссектрисы, имеем:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{10}{x} = \frac{4}{6} \]

Сначала упростим дробь \( \frac{4}{6} \):

\[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \frac{10}{x} = \frac{2}{3} \]

Перекрестным произведением решаем уравнение:

\[ 10 \cdot 3 = 2 \cdot x \]

\[ 30 = 2x \]

\[ x = \frac{30}{2} = 15 \text{ см} \]

Теперь нашли \( AC = 15 \text{ см} \).

Теперь найдем периметр треугольника \( ABC \):

\[ P = AB + BC + CA = 10 + 4 + 15 = 29 \text{ см} \]

Таким образом, сторона \( AC \) равна \( 15 \text{ см} \), а периметр треугольника \( ABC \) равен \( 29 \text{ см} \).