Реши уравнение с объявлением |2x+1|=-3x+2

Чтобы решить уравнение с абсолютной величиной \( |2x + 1| = -3x + 2 \), сначала следует учесть, что абсолютное значение всегда неотрицательно. Это означает, что правая часть уравнения также должна быть неотрицательной.

1. Проверим неравенство: \[ -3x + 2 \geq 0 \] Решим это неравенство: \[ -3x \geq -2 \implies x \leq \frac{2}{3} \]

2. Рассмотрим два случая для абсолютной величины.

Случай 1: \( 2x + 1 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq -\frac{1}{2} \)) В этом случае: \[ |2x + 1| = 2x + 1 \] Уравнение становится: \[ 2x + 1 = -3x + 2 \] Переносим все члены с \( x \) в одну сторону: \[ 2x + 3x = 2 - 1 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5} \]

Проверим \( x = \frac{1}{5} \) на соблюдение условий:

• Для \( x \geq -\frac{1}{2} \) — верно.
• Для \( x \leq \frac{2}{3} \) — верно.

Случай 2: \( 2x + 1 < 0 \) (т.е. \( x < -\frac{1}{2} \)) В этом случае: \[ |2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1 \] Уравнение становится: \[ -2x - 1 = -3x + 2 \] Переносим все члены с \( x \) в одну сторону: \[ -2x + 3x = 2 + 1 \implies x = 3 \]

Однако \( x = 3 \) не подходит, так как оно не удовлетворяет условию \( x < -\frac{1}{2} \).

Таким образом, единственное решение уравнения — это \( x = \frac{1}{5} \).