Площадь прямоугольного треугольника равна 120см².Длины его катетов относятся как 5:12 . Найдите длины этих катетов

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, нам нужно использовать формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) и \( b \) - длины катетов.

Из условия задачи мы знаем, что площадь \( S = 120 \, \text{см}^2 \) и длины катетов относятся как \( 5:12 \). Обозначим катеты как \( a \) и \( b \), где \( a = 5k \) и \( b = 12k \) для некоторого \( k \).

Теперь подставим наши выражения для катетов в формулу площади:

\[ 120 = \frac{1}{2} \cdot (5k) \cdot (12k). \]

Упростим это уравнение:

\[ 120 = \frac{1}{2} \cdot 60k^2, \] \[ 120 = 30k^2. \]

Теперь решим это уравнение для \( k^2 \):

\[ k^2 = \frac{120}{30} = 4, \] \[ k = \sqrt{4} = 2. \]

Теперь можем найти длины катетов:

\[ a = 5k = 5 \cdot 2 = 10 \, \text{см}, \] \[ b = 12k = 12 \cdot 2 = 24 \, \text{см}. \]

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника составляют \( 10 \, \text{см} \) и \( 24 \, \text{см} \).